Question

14．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=1+$\sqrt{2}$，圆C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直线l被圆C所截得的弦长为1．

Answer 1

分析 把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：由直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=1+$\sqrt{2}$，展开化为$\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$=1+$\sqrt{2}$，即x+y-$\sqrt{2}$-2=0．
圆C的极坐标方程ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开化为${ρ}^{2}=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}（ρsinθ+ρcosθ）$，即x²+y²=2y+2x，配方为（x-1）²+（y-1）²=2．
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{|1+1-\sqrt{2}-2|}{\sqrt{2}}$=1．
直线l被圆C所截得的弦长=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$\sqrt{2-1}$=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．