Question

15．已知a＞0，b＞0，2^a，$\sqrt{2}$，2^b成等比数列，则$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为4．

Answer 1

分析 由题意和等比数列可得a+b=1，进而可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵a＞0，b＞0，2^a，$\sqrt{2}$，2^b成等比数列，
∴（$\sqrt{2}$）²=2^a•2^b=2^a+b，∴a+b=1
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+b）
=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4
当且仅当$\frac{b}{a}$=$\frac{a}{b}$即a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
故答案为：4

点评 本题考查基本不等式求最值，属解等比数列的通项公式，属基础题．