Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

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）=f（x₁）-f（x₂），且当0＜x＜1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；   
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（2）=1，解不等式f（|x|+1）＜2．

Answer 1

分析：（1）根据恒等式f（

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）=f（x₁）-f（x₂），赋值x₁=x₂=1，即可求得f（1）的值； 
（2）设0＜x₁＜x₂，利用恒等式可得f（x₁）-f（x₂）=f（

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），再根据当0＜x＜1时，f（x）＜0，即可得f（x₁）-f（x₂）＜0，从而根据函数单调性的定义，判断出函数f（x）的单调性；
（3）根据恒等式f（

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）=f（x₁）-f（x₂），赋值x₁=4，x₂=2，即可求得2=f（4），将不等式f（|x|+1）＜2等价转化为f（|x|+1）＜f（4），根据（2）中的结论可得f（x）的单调性，利用单调性去掉“f”，即可得不等式|x|+1＜4，求解不等式可得到不等式f（|x|+1）＜2的解集．

解答：解：（1）∵定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

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）=f（x₁）-f（x₂），
∴令x₁=x₂=1，则f（1）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
（2）设0＜x₁＜x₂，则0＜

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＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=f（

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），且当0＜x＜1时，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

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）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）令x₁=4，x₂=2，代入f（

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）=f（x₁）-f（x₂），
可得f（2）=f（4）-f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（4）=2，
∴不等式f（|x|+1）＜2可转化成不等式f（|x|+1）＜f（4），
由（2）可知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴|x|+1＜4，即|x|＜3，而x＞0，
∴0＜x＜3，
∴不等式f（|x|+1）＜2得解集为{x|0＜x＜3}．

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值，及利用函数的单调性求解不等式，同时考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．解题的关键是将不等式进行合理的转化，然后利用单调性去掉“f”．考查了函数知识的综合应用．属于中档题．