Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-2n+q（p，q∈R，n∈N^*）．
（1）求q的值；
（2）若a₁与a₅的等差中项为18，b_n满足a_n=2log₂b_n，求数列的{b_n}前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）a₁=S₁=p-2+q，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由于数列{a_n}为等差数列，可得2a₂=a₁+a₃，即可解得
q=0．
（2）由于a₁与a₅的等差中项为18，可得a₁+a₅=2×18=2a₃，解得p=4．可得a_n=8n-6．由于b_n满足
a_n=2log₂b_n，可 得bn=24n-3．数列的{b_n}是等比数列，首项b₁=2，公比q=2⁴=16．利用等比数列的{b_n}前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）a₁=S₁=p-2+q，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-[p（n-1）²-2（n-1）+q]=（2n-1）p-2
∴a₂=3p-2，
a₃=5p-2，
∵数列{a_n}为等差数列，
∴2a₂=a₁+a₃，即2（3p-2）=p-2+q+5p-2，解得q=0．
（2）∵a₁与a₅的等差中项为18，∴a₁+a₅=2×18，∴a₃=18，
∴5p-2=18，解得p=4．
∴a_n=4（2n-1）-2=8n-6．
∵b_n满足a_n=2log₂b_n，
∴8n-6=2log₂b_n，解得bn=24n-3．
∴数列的{b_n}是等比数列，首项b₁=2，公比q=2⁴=16．
∴数列的{b_n}前n项和T_n=

2(16n-1)

16-1

=

2

15

(16n-1)．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推式的意义、对数的运算法则，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．