Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，AB⊥BC，点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若G点是AB的中点，求证：CG∥平面AB₁M₁；
（Ⅲ）求二面角M-AB₁-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由直三棱柱的性质结合AB⊥BC，得AB⊥平面B₁BCC₁，从而B₁C⊥GB，在等腰△BB₁C中，利用中线BN⊥B₁C，根据线面垂直的判定定理，得到B₁C⊥平面BNG．
（Ⅱ）连接AB₁，取AB₁的中点H，连接HG、HM、GC，用三角形中位线定理，得到GH∥BB₁且GH=

1

2

BB₁，在正方形B₁BCC₁中证出MC∥BB₁且MC=

1

2

BB₁，所以GH与MC平行且相等，得到四边形HGCM为平行四边形，GC∥HM，最后结合线面平行的判定定理，得到CG∥平面AB₁M．
（Ⅲ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-AB₁-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=BB₁，点N是B₁C的中点，
∴BN⊥B₁C，∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁，
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB，
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B₁C⊥平面BNG．
（Ⅱ）证明：连接AB₁，取AB₁的中点H，连接HG、HM、GC，
则HG为△AB₁B的中位线
∴GH∥BB₁，GH=

1

2

BB₁，
∵由已知条件，B₁BCC₁为正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M为CC₁的中点，
∴CM=

1

2

CC₁，∴MC∥GH，且MC=GH，
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM，
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M．
（Ⅲ）解：以B为原点，BB₁为x轴，BC为y轴，BA为z轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知M（1，2，0），A（0，0，2），
B₁（2，0，0），B（0，0，0），

AB1

=(2，0，-2)，

AM

=（1，2，-2），
设平面AB₁M的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AB1 =0 n • AM =0

，∴

2x-2z=0 x+2y-2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，

1

2

，1），
又平面AB₁B的法向量

m

=（0，1，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

1 2

1+1+ 1 4

=

1

3

．
∴二面角M-AB₁-B的余弦值为

1

3

．

点评：本题给出一个侧面是正方形的直三棱柱，求证线面垂直并探索线面平行的存在性，考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识，属于中档题．