Question

已知函数f（x）=xlnx+ax²，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点，求a的值；
（2）若函数y=f（x）在区间（0，1）内不单调，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出导数，求出切点，求出切线的斜率，得到切线方程，代入原点即可；
（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函数f（x）在区间（0，1）内不单调，则只需f′（x）的函数值在（0，1）内，有正有负．令g（x）=1+lnx+2ax，求出导数，对a讨论a≥-

1

2

，a＜-

1

2

，即可得到．

解答： 解：（1）函数f（x）=xlnx+ax²，
则f′（x）=1+lnx+2ax，f′（1）=1+2a，f（1）=a，
∴切线方程为y-a=（1+2a）（x-1），
由题意知，-a=（1+2a）•（-1），解得a=-1．
（2）f′（x）=1+lnx+2ax，要使函数f（x）在区间（0，1）内不单调，
则只需f′（x）的函数值在（0，1）内，有正有负．
令g（x）=1+lnx+2ax，则g′（x）=

1

x

+2a，
而x∈（0，1），

1

x

＞1．
当2a≥-1，即a≥-

1

2

，g′（x）＞0，
g（x）在（0，1）内单调递增，又x→0，g（x）→-∞，
∴只需g（1）=1+2a＞0，即a＞-

1

2

，∴a＞-

1

2

，
当2a＜-1，即a＜-

1

2

，g（x）在（0，-

1

2a

）上单调递增，在（-

1

2a

，1）上单调递减，
∴只需g（-

1

2a

）＞0，即ln（-

1

2a

）＞0，∴a＞-

1

2

矛盾，舍去，
综上，a＞-

1

2

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程，求单调区间，考查函数的单调性与极值的关系，属于中档题．