Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（2-x）=f（x+2）成立，且当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1．若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在区间，（0，6]内恰有两个不同实根，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-log_a^x+2=0恰有2个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log_a^x+2的图象恰有2个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答： 解：∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（0，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有2个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（0，6]上有2个不同的交点，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，则有 log_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）＞3，
解得：

3	4

＜a＜2，
故答案为 （

3	4

，2）．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．