Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，P、Q分别是线段AB，CD中点，EP⊥平面ABCD．
（1）求证：DP⊥平面EPC；
（2）问在EP上是否存在点F，使平面AFD⊥平面BFC？若存在，求出

FP

AP

的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得∠APD=∠BPC=45°，∠DPC=90°，从而DP⊥PC，由EP⊥平面ABCD，得EP⊥DP，由此能证明DP⊥平面EPC．
（2）假设存在F，使平面AFD⊥平面BFC，由已知得AD∥平面BFC，从而AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l，由已知得EP⊥AD，而AD⊥AB，从而l⊥平面FAB，∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角，由此能求出当

FP

AP

=1时，平面AFD⊥平面BFC．

解答： 解：（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB=2BC，
P、Q分别是线段AB，CD中点，
∴∠APD=∠BPC=45°，∴∠DPC=90°，∴DP⊥PC，
∵EP⊥平面ABCD，DP?平面ABCD，
∴EP⊥DP，
又PC∩EP=P，∴DP⊥平面EPC．
（2）解：假设存在F，使平面AFD⊥平面BFC，
∵AD∥BC，BC?平面BFC，AD不包含于平面BFC，
∴AD∥平面BFC，
∴AD平行于平面AFD与平面BFC的交线l，
∵EP⊥平面ABCD，
∴EP⊥AD，而AD⊥AB，
AB∩EP=P，∴AD⊥平面EAB，∴l⊥平面FAB，
∴∠AFB为平面AFD与平面BFC所成二面角的平面角，
∵P是AB的中点，且FP⊥AB，
∴当∠AFB=90°时，FP=AP，
∴当

FP

AP

=1时，平面AFD⊥平面BFC．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查使平面与平面垂直的点是否存在的判断与求法，解题时要注意空间思维能力的培养．