Question

求函数f（x）=

2x+3

-

1

2x+5

的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：法1：求出函数的定义域，利用函数的单调的定义判断函数的单调性即可得到结论．
法2：利用函数单调性的性质即可得到结论．

解答： 解：要使函数f（x）有意义，则

2x+3≥0 2x+5≠0

，
解得x≥-

3

2

，
∴f（x）的定义域为[-

3

2

，+∞)，
任取x1，x2∈[-

3

2

，+∞)，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2x1+3

-

1

2x1+5

-

2x2+3

+

1

2x2+5

=(

2x1+3

-

2x2+3

)+(

1

2x2+5

-

1

2x1+5

)=

2(x1-x2)

2x1+3 + 2x2+3

+

2(x1-x2)

(2x2+5)(2x1+5)

=2(x1-x2)(

1

2x1+3 + 2x2+3

+

1

(2x2+5)(2x1+5)

)＜0
即  f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函数，则f（x）的最小值为f(-

3

2

)=-

1

2

方法二：∵f（x）有意义时

2x+3≥0 2x+5≠0

?x≥-

3

2

，
∴f（x）的定义域为[-

3

2

，+∞)
由于y=2x+3是递增的，
∴y=

2x+3

也是递增的；
而y=2x+5在宝义域内是递增的，从而y=

-1

2x+5

也是递增的，
故函数f（x）在定义域[-

3

2

，+∞)上是递增的
故当x=-

3

2

时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-

1

2

点评：本题主要考查函数最值的求解，判断函数的单调性是解决本题的关键．注意要先求函数的定义域．