Question

当x∈（1，2）时，不等式（x-1）²+log_a

1

x

＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：根据不等式恒成立得到，根据x的范围，x²取最大即x为1时，得到的不等式成立，讨论a大于1和小于1两种情况，根据对数函数的增减性得到a的取值范围．

解答： 解：（x-1）²+log_a

1

x

＜0即（x-1）²＜log_ax，
∵不等式（x-1）²＜log_ax在（1，2）上恒成立等价于x∈（1，2）时x取最大值2，log_a2≥1²=1，
当a＞1时，对数函数为增函数，根据log_a2≥log_aa，得到1＜a≤2；
当0＜a＜1时，对数函数为减函数，根据log_a2≥log_aa，得到a≥2，而0＜a＜1，∴无解．
∴不等式恒成立时，a的取值范围是（1，2]．

点评：本题考查函数恒成立、对数函数的性质等知识，考查分类讨论的思想，是中档题．