Question

已知不等式x²+2ax-3a+4＞0在x∈[1，2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：令f（x）=x²+2ax-3a+4，则只要f（x）的最小值满足大于0在[1，2]上恒成立即可，所以讨论a求二次函数fx）最小值，让最小值大于0即可解出a的范围，然后对每种情况下的a求并集即可．

解答： 解：根据已知条件知：令f（x）=x²+2ax-3a+4，只要f（x）的最小值大于0，在x∈[1，2]恒成立即可；
对称轴是：x=-a；
∴当-a≤1，即a≥-1时，f（x）_min=f（1）=5-a＞0，∴-1≤a＜5；
当-a≥2，即a≤-2时，f（x）_min=f（2）=a+8＞0，∴-8＜a≤-2；
当1＜-a＜2，即-2＜a＜-1时，f(x)min=f(-a)=-a2-3a+4＞0，
解得：-4＜a＜1，∴-2＜a＜-1；
综上得a的取值范围是：（-8，5）．

点评：考查二次函数的最小值，二次函数的对称轴，并且掌握本题对于a的讨论的方法．