Question

已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2

3

的正方形，若PA=2

6

，求△OAB的面积．

Answer 1

考点：球内接多面体

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：可将P，A，B，C，D补全为长方体ANCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则该长方体的对角线PC即为球O的直径（球O为该长方体的外接球，于是可求得PC的长度，可判断△OAB为等边三角形，从而而求其面积．

解答： 解：依题意，可将P，A，B，C，D补全为长方体ABCD-A′B′C′D′，让P与A′重合，则球O为该长方体的外接球，长方体的对角线PC即为球O的直径．
∵ABCD是边长为2

3

正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2

6

，
∴PC²=AP²+AC²=24+24=48，
∴2R=4

3

，R=OP=2

3

，
∴△OAB为边长是2

3

的等边三角形，
∴S_△OAB=

1

2

×2

3

×2

3

×sin60°=3

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查球内接多面体的应用，“补形”是关键，考查分析、转化与运算能力，属于中档题．