Question

已知函数f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）已知f（

α

2

）=

1

3

，α∈[0，π]，求cos（α+

π

6

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换化简f（x），求出它的最小正周期；
（2）由f（

α

2

）=

1

3

求出sin（α+

π

6

）的值，考虑α的取值范围，求出α+

π

6

的取值范围，从而求出cos（α+

π

6

）的值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinx•cosx+2cos²x
=

3

sin2x+cos2x+1
=2（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）+1
=2sin（2x+

π

6

）+1，x∈R
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π．

（2）∵f（

α

2

）=2sin[2（

α

2

）+

π

6

]+1
=2sin（α+

π

6

）+1
=

1

3

，
∴sin(α+

π

6

)=-

1

3

＜0，
∵α∈[0，π]，
∴α+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴α+

π

6

∈(π，

7π

6

]，
∴α∈(

5π

6

，π]时，cos(α+

π

6

)＜0，
∴cos(α+

π

6

)=-

2 2

3

．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的求值问题，解题时应注意三角函数的化简以及由值求角和由角求值时角的范围，是中档题．