Question

设数列{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=lna_3n+1，n=1，2…，求数列{b_n}的通项公式及前n项和T_n以及T_n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意可得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，可得a₂=2，设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得及S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，解出q可得a_n；
（Ⅱ）易求b_n，可判断{b_n}为等差数列，从而可求T_n，利用二次函数的性质可求得T_n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2

，解得a₂=2，
设数列{a_n}的公比为q，由a₂=2，可得a1=

2

q

，a₃=2q，
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，即2q²-5q+2=0，
解得q₁=2，q2=

1

2

，
由题意得q＞1，∴q=2，
∴a₁=1，
故数列{a_n}的通项为an=2n-1．
（Ⅱ）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，
由（Ⅰ）得a3n+1=23n，
∴bn=ln23n=3nln2，
又b_n+1-b_n=3ln2为常数，
∴{b_n}为等差数列，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3nln2)

2

=

3n(n+1)ln2

2

，
故T_n=

3

2

ln2[(n+

1

2

)2-

1

4

]，其中n≥1，n∈N．
∴当n=1时T_n取得最小值，T_n的最小值是3ln2．

点评：该题考查等差数列、等比数列的性质、数列求和等知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．