Question

已知函数f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

，求f（x）的最小正周期和值域，若f（a）=

3 2

10

，求sina．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：利用二倍角公式对原函数解析式化简整理 利用周期公式求得函数的最小正周期，利用正弦函数的性质求得函数的值域；根据f（a）的值，求得sin（a-

π

4

）的值，进而求得cos（a-

π

4

）的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．

解答： 解：f（x）=cos²

x

2

-sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1

2

cosx-

1

2

sinx=-

2

2

sin（x-

π

4

），
∴T=

2π

1

=2π，函数的值域为[-

2

2

，

2

2

]，
∵f（a）=-

2

2

sin（a-

π

4

）=

3 2

10

，
∴sin（a-

π

4

）=-

3

5

，
∴cos（a-

π

4

）=±

4

5

，
当cos（a-

π

4

）=

4

5

时，sina=sin（a-

π

4

+

π

4

）=-

3

5

×

2

2

+

4

5

×

2

2

=

2

10

，
当cos（a-

π

4

）=-

4

5

时，sina=sin（a-

π

4

+

π

4

）=-

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

=-

7 2

10

．

点评：本题主要考查了二倍角公式的应用，三角函数图象与性质以及两角和与差的正弦函数．要求学生对三角函数基础知识能熟练记忆．