Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P是△ABC内切圆M上的动点，求以PA，PB，PC为直径的三个圆的面积之和的最小值．

Answer 1

考点：圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：由△ABC是边长为6，8，10的直角三角形，点P是此三角形内切圆上一动点，建立平面直角坐标系，求三个圆的面积之和的最小值问题，转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最小值问题．

解答： 解：建立坐标系 设A（8，0），B（0，6），C（0，0），P（x，y），△ABC内切圆半径为r．
∵三角形ABC面积 S=

1

2

AB×AC=

1

2

（AB+AC+BC）r=24，解得r=2
即内切圆圆心坐标为 （2，2）
∵P在内切圆上
∴（x-2）²+（y-2）²=4
∵P点到A，B，C距离的平方和为 d=x²+y²+（x-8）²+y²+x²+（y-6）²=3（x-2）²+3（y-2）²-4x+76=88-4x，
显然 0≤x≤4 即72≤d≤88，
∴以PA，PB，PC为直径的三个圆面积之和最小值为18π．

点评：本题考查解析法求最值，三个圆的面积之和的最小值问题，转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最小值问题，体现了转化的思想方法．