Question

对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a||x-1|恒成立，则实数x的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：依题意，将问题转化为|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，利用绝对值三角不等式可求得(

|a+b|+|a-b|

|a|

)min=2，从而去解不等式|x-1|≤2即可．

解答： 解：由题知，|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立，故|x-1|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，当且仅当 （a+b）（a-b）≥0 时取等号，
∴(

|a+b|+|a-b|

|a|

)min=2，
∴x的范围即为不等式|x-1|≤2的解．
由|x-1|≤2得：-2≤x-1≤2，
解得：-1≤x≤3，
故答案为[-1，3]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查绝对值三角不等式的应用，将问题转化为|x-1|≤

|a+b|+|a-b|

|a|

恒成立是关键，考查等价转化思想与恒成立问题，属于中档题．