Question

设

a

=（3，-sin2x），

b

=（cos2x，

3

），f（x）=

a

•

b

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的最大值及取最大值时x的集合；
（Ⅲ）求满足f（a）=-

3

且0＜α＜π的角α的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）运用数量积的坐标表示，及两角和的余弦公式，再由周期公式，即可得到；
（Ⅱ）由余弦函数的最值，即可得到最大值和x的集合；
（Ⅲ）化简得到cos（2α+

π

6

）=-

1

2

，再由0＜α＜π得到所求的值．

解答： 解：（Ⅰ）

a

=（3，-sin2x），

b

=（cos2x，

3

），
f（x）=

a

•

b

=3cos2x-

3

sin2x
=2

3

（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2

3

cos（2x+

π

6

），
故最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）当2x+

π

6

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

12

，k∈Z时，f（x）有最大值2

3

，
此时，所求x的集合为{x|x=kπ-

π

12

，k∈Z}．               
（Ⅲ）由f（α）=-

3

得2

3

cos（2α+

π

6

）=-

3

 得cos（2α+

π

6

）=-

1

2

，
则2α+

π

6

=2kπ+

2π

3

或

4π

3

，k∈Z．
又由0＜α＜π得，解得α=

π

4

或

7π

12

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换公式的运用，考查三角函数的最值和周期性，同时考查平面向量的数量积及运用，属于中档题．