Question

已知函数f（x）=

ex

1+ax2

，其中a为实数，常数e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）当a=-4时，求函数f（x）的单调区间；
（3）当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程f（x）=m有三个实数根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由条件得f′(

1

3

)=0，解出a，并检验是否为极值即可；
（2）求出a=-4的函数的导数，令f'（x）=0得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．再解不等式，求出单调区间；
（3）求出导数，令f'（x）=0，讨论a＞1时的两根x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．并求出极值，讨论它们的符号，再讨论当0＜a≤1时，f（x）的单调性，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

ex

1+ax2

，
其导数f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
因为x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而当a=

9

5

时，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可验证：x=

1

3

是函数f（x）的一个极值点．因此a=

9

5

．
（2）当a=-4时，f′(x)=

(-4x2+8x+1)ex

(1-4x2)2

，
令f'（x）=0得-4x²+8x+1=0，解得x=1±

5

2

，而x≠±

1

2

．
所以当x＜-

1

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减；当-

1

2

＜x＜

2- 5

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当

2- 5

2

＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增；当

1

2

＜x＜

2+ 5

2

时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当x＞

2+ 5

2

时，f′（x）＜0，f（x）递减．
因此f（x）的单调增区间是(1-

5

2

，

1

2

)，(

1

2

，1+

5

2

)；f（x）的单调减区间是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)； 
（3）当a取正实数时，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
当a＞1时，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
f（x）在（-∞，x₁）和（x₂，+∞）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，
但是函数值恒大于零，极大值f（x₁），极小值f（x₂），
并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x→+∞时，f(x)=

ex

1+ax2

→+∞，
当x→-∞时，f(x)=

ex

1+ax2

→0．因此当f（x₂）＜m＜f（x₁）时，
关于x的方程f（x）=m一定总有三个实数根，结论成立；
当0＜a≤1时，f（x）的单调增区间是（-∞，+∞），
无论m取何值，方程f（x）=m最多有一个实数根，结论不成立．
因此所求a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力．