Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n=

n+1

2

（

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

）（n∈N^*）
①求a₁，a₂，a₃；
②求数列{a_n}的通项公式a_n；
③若数列{b_n}满足b₁=1，b_n=

1

bn-1

+

1

an

（n≥2），求证：b_n²＜2+2（

1

2

b₁+

1

3

b₂+

1

4

b₃+…+

1

n

b_n-1）（n≥2）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：①令n=1、2、3可求得结果；
②由①猜想通项公式，然后利用数学归纳法证明；
③由b_n=b_n-1+

1

an

两边平方后变形可得，bn2-bn-12=2bn-1•

1

an

+(

1

an

)2，累加可得bn2-b12=2（b1•

1

a2

+b2•

1

a3

+…+bn-1•

1

an

）+（

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

），
从而bn2=1+2(b1•

1

2

+b2•

1

3

+…+bn-1•

1

n

)+（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

），放缩可得

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

（n≥2），进而可得结论；

解答： 解：①由a_n=

n+1

2

（

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

），
∴a1=

1

S1

=

1

a1

，∴a₁=1（负值舍去），
同理：a₂=2，a₃=3；
②猜想：a_n=n（下面用数学归纳法证明a_n=n），
当n=1时，命题成立；
假设当n=k时命题成立，即a_k=k，
a_k+1=

k+2

2

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sk

+

1

Sk+1

)，
∵a_k=k，∴Sk=

k(k+1)

2

，

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sk

+

1

Sk+1

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

k

-

1

k+1

）]+

1

Sk+ak+1

=2（1-

1

k+1

）+

1

Sk+ak+1

=

2k

k+1

+

1

Sk+ak+1

，
∴ak+1=

k+2

2

(

2k

k+1

+

1

k(k+1) 2 +ak+1

)，
∴2（k+1）ak+12+k（k²-3）a_k+1-（k+1）（k+2）（k²+1）=0，
∴[2（k+1）a_k+1+（k+2）（k²+1）][a_k+1-（k+1）]=0，
∴a_k+1=k+1，∴当n=k+1时命题成立．
∴a_n=n．
③∵b_n=b_n-1+

1

an

，
∴bn2=bn-12+2bn-1•

1

an

+(

1

an

)2，
∴bn2-bn-12=2bn-1•

1

an

+(

1

an

)2，
∴bn2-b12=2（b1•

1

a2

+b2•

1

a3

+…+bn-1•

1

an

）+（

1

a22

+

1

a32

+…+

1

an2

），
∴bn2=1+2(b1•

1

2

+b2•

1

3

+…+bn-1•

1

n

)+（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

），
∵

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=1-

1

n

（n≥2），
∴bn2＜1+2（b1•

1

2

+b2•

1

3

+…+!bn-1•

1

n

）+1-

1

n

，
∴b_n²＜2+2（

1

2

b₁+

1

3

b₂+

1

4

b₃+…+

1

n

b_n-1）（n≥2）．

点评：该题考查数列求和、数学归纳法、不等式的证明等，考查学生的运算求解能力、推理论证能力，综合性强，难度大，能力要求高．