Question

如图所示，程序框图的输出的各数组成数列{a_n}．

（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）已知{b_n}是等差数列，且b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，求数列{a_n•b_n}前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,程序框图

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由程序框图知a_n=3a_n-1，a₁=3，判断出数列{a_n}是a₁=3，q=3的等比数列，代入公式求出通项公式及前n项和S_n；
（2）设公差是d，由（1）和条件列出方程求出d，求出等差数列{b_n}的通项公式，再求出a_n•b_n=（15n-6）•3ⁿ，利用错位相减法求出数列{a_n•b_n}前n项和T_n．

解答： 解：（1）由程序框图知a_n=3a_n-1，a₁=3，
则数列{a_n}是a₁=3，q=3的等比数列，…（4分）
∴an=3•3n-1=3n，
Sn=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)；…（6分）
（2）设等差数列{b_n}的公差是d，
∵b₁=a₂，b₃=a₁+a₂+a₃，∴

b1=9 b3=3+9+27=39

，
则9+2d=39，解得d=15，
∴b_n=9+（n-1）×15=15n-6，…（8分）
∴a_n•b_n=（15n-6）•3ⁿ，
则Tn=9×31+24×32+39×33+…+(15n-6)×3n
∴3Tn=9×32+24×33+39×34+…+(15n-6)×3n+1…（9分）
两个式子相减得，-2Tn=27+15(32+33+34+…+3n)-(15n-6)×3n+1
=27+15×

9(1-3n-1)

1-3

-(15n-6)×3n+1
=-

81

2

+(

9

2

-5n)•3n+2，
两边除以-2得：Tn=

1

4

[81+(10n-9)•3n+2]…（12分）

点评：本题考查等差（等比）数列的通项公式及前n项和公式，以及错位相减法求数列的和，这是常考的题型，考查了运算能力．