Question

已知函数f（x）=log₂（ax²+2x+3）
（1）当a=-1时，求该函数的定义域和值域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（3）如果f（x）≥1在区间[0，1]上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=-1时，f（x）=log₂（-x²+2x+3），令-x²+2x+3＞0，解得-3＜x＜1，可得函数f（x）的定义域，确定真数的范围，可得函数f（x）的值域；
（2）由题意可得ax²+2x+1＞0恒成立，故有 a＞0，且△=4-4a＜0，由此求得a的范围．
（3）f（x）≥1在区间[0，1]上恒成立等价于ax²+2x+1≥0在区间[0，1]上恒成立，分离参数，构造函数，确定函数的最值，即可得到a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-1时，f（x）=log₂（-x²+2x+3）．
令-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3
所以函数f（x）的定义域为（-1，3）．
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，则0＜t≤4
所以f（x）=log₂t≤log₂4=2
因此函数f（x）的值域为（-∞，2]
（2）若函数y=log₂（ax²+2x+1）的定义域为R，∴ax²+2x+1＞0恒成立，
故有 a＞0，且△=4-12a＜0，解得 a＞

1

3

，
故所求的a的范围为（

1

3

，+∞）．
（3）f（x）≥1在区间[0，1]上恒成立等价于ax²+2x+1≥0在区间[0，1]上恒成立，
由ax²+2x+3≥0且x∈[0，1]时，
当x=0时，a∈R；
当≠0时，x²＞0，得a≥-

1+2x

x2

，
令g（x）=-

1+2x

x2

，
则g′(x)=

2+2x

x2

，
又∵x∈[0，1]，故g′（x）＞0，
∴g（x）=-在x∈[0，1]是单调增函数，
故g（x）≤g（1）=-

1+2

12

=-3，
∴a≥-3．

点评：本题主要考查对数函数和二次函数的性质，对数函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．