Question

已知函数f（x）=2sin²（x+

π

4

）-

3

cos2x，x∈[

π

4

，

π

2

]．设x=α时f（x）取到最大值．
（1）求f（x）的最大值及α的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=α-

π

12

，且sinBsinC=sin²A，求b-c的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简利用x的范围判断出2x-

π

3

的范围，利用正弦函数的性质求得函数的最大值及α的值．
（2）利用正弦定理把已知角的正弦等式转化成变化的等式，进而利用余弦定理求得b-c的值．

解答： 解：（1）依题f(x)=[1-cos(2x+

π

2

)]-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=1+2sin(2x-

π

3

)．
又x∈[

π

4

，

π

2

]，则

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
故当2x-

π

3

=

π

2

即x=α=

5π

12

时，f（x）_max=3．
（2）由（1）知A=α-

π

12

=

π

3

，由sinBsinC=sin²A即bc=a²，
又a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，
则b²+c²-bc=bc即（b-c）²=0，
故b-c=0．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数图象与性质．是对三角函数基础知识的综合考查．