Question

已知正三棱锥P-ABC的底面边长为4cm，它的侧棱与高所成的角为45°，求正三棱锥的表面积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由已知中正三棱锥的底面边长为4cm，它的侧棱与高所成的角为45°，易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．

解答： 解：如图所示，正三棱锥P-ABC，O为顶点P在底面BCD内的射影，
则O为正△BCD的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接PH．
则PO⊥HC，且HO=

2 3

3

，
在Rt△SHO中，SH=

2 15

3

．
于是，S_△SAB=

1

2

×AB×SH=

4 15

3

，
S_△ABC=

3

4

×42=4

3

．
∴S_全面积=S_△BCD+3S_△SAB=4（

3

+

15

）

点评：本题主要考查基本运算，考查三棱锥的全面积，属于中档题．