Question

求函数y=ln（1+ax）-

ax

ax+1

的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：函数y=f（x）=ln（1+ax）-

ax

ax+1

（1+ax＞0）．当a=0时，f（x）=0，不具有单调性．当a≠0时，f′（x）=

a2x

(ax+1)2

，通过对a分类讨论即可得出单调性．

解答： 解：函数y=f（x）=ln（1+ax）-

ax

ax+1

（1+ax＞0）．
当a=0时，f（x）=0，不具有单调性．
当a≠0时，f′（x）=

a2x

(ax+1)2

，
当a＞0时，由1+ax＞0解得x＞-

1

a

．
令f′（x）=0，解得x=0．令f′（x）＞0，解得x＞0，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得-

1

a

＜x＜0，此时函数f（x）单调递减．
当a＜0时，由1+ax＞0解得x＜-

1

a

．
令f′（x）=0，解得x=0．令f′（x）＞0，解得-

1

a

＞x＞0，此时函数f（x）单调递增；
令f′（x）＜0，解得x＜0，此时函数f（x）单调递减．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．