Question

已知数列{a_n}满足：1+a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列b_n=

2n

an

（n∈N^*），试求数列{tanb_n•tanb_n+1}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据题意，可得a₁+2a₂+3a₃++（n-1）a_n-1=2^n-1，两者相减并化简，可得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=

2n

an

=2n，利用两角差的正切公式变形，得出tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1，再利用累加法求和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=2ⁿ①，∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=2^n-1②
①-②得na_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，a_n=

2n-1

n

（n≥2），在①中令n=1得a₁=1，也适合上式．
所以a_n=

2n-1

n

（n≥1）
（Ⅱ）由（Ⅰ），b_n=

2n

an

=2n，
利用两角差的正切公式变形，tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1，
所以S_n=

(tanbn+1-tanbn)+(tanbn-tanbn-1)+…+(tanb2-tanb1)

tan2

-n
=

tan(2n+2)-tan2

tan2

-n

点评：本题考查算了通项公式求解，两角差的正切公式变形应用，本题关键是利用两角差的正切公式变形，得出tanb_n•tanb_n+1=

tanbn+1-tanbn

tan(bn+1-bn)

-1=

tanbn+1-tanbn

tan2

-1．