Question

已知f（x）=

1+sinx+cosx+2sinxcosx

1+sinx+cosx

．
（1）化简f（x）；
（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值，并求此时x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）把1转化为sin²x+cos²x，合并同类项化简整理可得f（x）=sinx+cosx，最后利用正弦的两角和公式进一步化简．
（2）根据x的范围判断出x+

π

4

的范围，进而利用正弦函数的性质求得函数的最大值及此时x的值．

解答： 解（1）f(x)=

1+sinx+cosx+2sinxcosx

1+sinx+cosx

=

sin2x+cos2x+sinx+cosx+2sinxcosx

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)(1+sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）．
（2）当x∈[0，π]时，x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，sin(x+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
∴

2

sin(x+

π

4

)∈[-1，

2

]，即f（x）的最大值为

2

，
此时x+

π

4

=

π

2

，
所以x=

π

4

．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值．解题过程中巧妙的利用了sin²x+cos²x=1，消去了常数项达到化简的目的．