Question

函数f（x）=

1

2

（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）的图象经过点（2，

41

9

）．
（1）求函数f（x）的解析式；　
（2）若函数f（x）的值域为[1，

5

3

]，试确定x的取值范围．

Answer 1

考点：函数的值域,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把点（2，

41

9

）代入解析式，利用整体思想和a的范围求出a的值，即求出函数的解析式；
（2）由（1）和题意得，1≤

1

2

(3x+3-x)≤

5

3

，根据指数函数的性质求出x的范围．

解答： 解：（1）因为函数f（x）的图象经过点（2，

41

9

），
所以

1

2

（a²+a^-2）=

41

9

，即9a⁴-82a²+9=0，
解得a2=

1

9

或a²=9，
又a＞0，a≠1，所以a=3，或a=

1

3

，
当a=3时，f(x)=

1

2

(3x+3-x)，…（4分）
当a=

1

3

时，f(x)=

1

2

[(

1

3

)x+(

1

3

)-x]=

1

2

(3x+3-x)
所以f（x）的解析式为f(x)=

1

2

(3x+3-x)…（6分）
（2）由函数的值域为[1，

5

3

]得，则1≤

1

2

(3x+3-x)≤

5

3

，
即

3x+3-x≥2 3x+3-x≤ 10 3

⇒

(3x-1)2≥0 1 3 ≤3x≤3

⇒-1≤x≤1，
所以当函数的值域为[1，

5

3

]，x的取值范围为[-1，1]…（12分）

点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，函数的值域，以及指数函数的性质应用，属于中档题．