Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（Ⅰ）证明：PC⊥AD；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥P-ACD外接球的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系,二面角的平面角及求法

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证明DA⊥平面PAC，从而推出DA⊥PC；（2）过A作AM⊥PC交PC于点M，连接DM，则∠AMD为所求角；（3）长方体的对角线为球的直径．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，∴DA⊥PA
又∵AC⊥AD，∴DA⊥平面PAC
∴DA⊥PC．

（Ⅱ）过A作AM⊥PC交PC于点M，连接DM，则∠AMD为所求角．
在Rt△PAC中，AM=

2

1+22

=

2

5

，
在Rt△DAM中，DM=

DA2+AM2

=

22+( 2 5 )2

=

2 30

5

，
在Rt△AMD中，sin∠AMD=

AD

DM

=

30

6

．
（Ⅲ）求三棱锥P-ACD外接球即为以AP，AD，AC为棱的长方体的外接球，
长方体的对角线为球的直径；
∵l²=2²+2²+1²=9=（2R）²
∴R=

3

2

；
∴V=

4

3

πR3=

4

3

π×(

3

2

)3=

9

2

π．

点评：本题考查了线面垂直，线线垂直的证明，及二面角的平面角的作法，同时考查了外接球与内几何体的等量关系，综合性较强．