Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的长轴为线段AB，点M是椭圆上不同于A，B的任意一点，
（1）设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁k₂为定值；
（2）若直线MA，MB与直线x=3分别相交于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，由已知得A（-2，0），B（2，0），由此能证明k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

3

4

，为定值．
（2）设直线MA：y₁=k₁（x+2），直线MB：y₂=k₂（x-2），由已知得C（3，5k₁），D（3，k₂），以CD为直径的圆方程为（x-3）²+[y-

1

2

（5k₁+k₂）]²=

1

4

（5k₁-k₂）²，
化简得 x²-6x+9+y²-（5k₁+k₂）y=-5k₁k₂=

15

4

，由此能证明以CD为直径的圆过定点（3+

15

2

，0）和（3-

15

2

，0）．

解答： 证明：（1）设M（x₀，y₀），则

x02

4

+

y02

3

=1，
∴

y02

3

=1-

x02

4

=

4-x02

4

，
∴

y02

x02-4

=-

3

4

，
∵椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的长轴为线段AB，
∴A（-2，0），B（2，0），
∴k₁=

y0

x0+2

，k2=

y0

x0-2

，
∴k₁k₂=

y0

x0+2

•

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=-

3

4

，
∴k₁k₂为定值-

3

4

．
（2）设直线MA：y₁=k₁（x+2），直线MB：y₂=k₂（x-2），
∵直线MA，MB与直线x=3分别相交于C，D两点，
∴C（3，5k₁），D（3，k₂）
∴以CD为直径的圆方程为（x-3）²+[y-

1

2

（5k₁+k₂）]²=

1

4

（5k₁-k₂）²，
化简得 x²-6x+9+y²-（5k₁+k₂）y=-5k₁k₂=

15

4

，
∴以CD为直径的圆过定点（3+

15

2

，0）和（3-

15

2

，0）．

点评：本题考查两直线的斜率的乘积这定值的证明，考查圆过定点的证明，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．