Question

对于两个定义域相同的函数f（x）、g（x），若存在实数m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是“函数f（x），g（x）的一个线性表达”．
（1）若h（x）=2x²+3x-1是“函数f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）的一个线性表达”，求a+2b的取值范围；
（2）若函数h（x）是“函数f（x）=log₄（4^x+1），g（x）=x-1的一个线性表达”且满足：①h（x）是偶函数；②g（x）的最小值是1，求h（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）依题意列出等式2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b），化简整理后由系数相等得到a，b的关系，代入a+2b后由绝对值的不等式求得答案；
（2）依题意知：h（x）=mlog₄（4^x+1）+n（x-1）是偶函数，由偶函数的性质列式得到m与n的关系，再由
g（x）的最小值是1求得n的值，则h（x）的解析式可求．

解答： 解：依题意知：2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb，
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

，即2a-

1

b

=3．
得：a=

3

2

+

1

2b

，a≠0．
∴b≠-

1

3

．
∴a+2b=2b+

1

2b

+

3

2

．
∵|2b+

1

2b

|=|2b|+|

1

2b

|≥2．
∴2b+

1

2b

≥2或2b+

1

2b

≤-2且2b+

1

2b

≠-

13

6

．
∴a+2b的取值范围是(-∞，-

2

3

)∪(-

2

3

，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)；
（2）依题意知：h（x）=mlog₄（4^x+1）+n（x-1）是偶函数，
故h（-x）=h（x），
即mlog4(4-x+1)+n(-x-1)=mlog₄（4^x+1）+n（x-1），
整理得：m=-2n，
∴h（x）=mlog₄（4^x+1）+n（x-1）=-2nlog₄（4^x+1）+n（x-1）
=-nlog2(2x+2-x)-n．
∵2^x+2^-x≥2，
∴log2(2x+2-x)≥1．
由于h（x）的最小值是1，
∴n＜0，-nlog2(2x+2-x)-n≥-2n=1．
故n=-

1

2

．
∴h(x)=

1

2

log2(2x+2-x)+

1

2

．

点评：本题考查了函数奇偶性的性质，考查了数学转化思想方法，关键是对题意的理解，是中档题．