Question

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（Ⅰ）证明：CB=DA；
（Ⅱ）若∠AEB=60°且D是AE的中点，证明：AB是该圆的直径．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）由已知得∠EDC=∠ECD，∠EDC=∠EBA．从而∠ECD=∠EBA，同理∠EDC=∠EAB，由此能证明CB=DA．
（II）取AB的中点O，连OD，则OD=

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BE．由（I）知△EDC和△EAB都是正三角形，由此能证明AB是该圆的直径．

解答： 解：（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD．
因为A，B，C，D四点在同一圆上，
所以∠EDC=∠EBA．
故∠ECD=∠EBA，同理∠EDC=∠EAB
所以∠EAB=∠EBA，所以EA=EB，
所以CB=DA．…（5分）
（II）取AB的中点O，连OD，则OD=

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2

BE．
由（I）知△EDC和△EAB都是正三角形，
所以OA=OB=OD
所以AB是该圆的直径． …（10分）

点评：本题考查两线段长相等的证明，考查线段是圆的直径的证明，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．