Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求证：{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设数列{a_n}的前n项和S_n，求S_n+1-S_n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）整理题设a_n+1=4a_n-3n+1得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），进而可推断数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可数列{a_n-n}的通项公式，再求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中求得a_n，根据等比和等差数列的求和公式求得S_n，代入S_n+1-4S_n整理后根据-

1

2

（3n²+n-4）和二次函数的性质，求出最大值．

解答： （Ⅰ）证明：由题设得a_n+1=4a_n-3n+1，则a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得，a_n=4^n-1+n，
所以数列{a_n}的前n项和S_n=

1-4n

1-4

+

n(1+n)

2

=

4n-1

3

+

n(1+n)

2

，
则S_n+1-S_n=

4n+1-1

3

+

(n+1)(2+n)

2

-[

4n-1

3

+

n(1+n)

2

]
=-

1

2

（3n²+n-4），
由n∈N^*得，当n=1时，-

1

2

（3n²+n-4）的最大值是0，
所以S_n+1-S_n的最大值是0．

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．