Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=2ⁿ+c．
（Ⅰ）求c的值并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=S_n+2n+1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知令n=1可求a₁，利用n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，再由等比数列的定义求出c，则求出首项，再求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和b_n=S_n+2n+1求出b_n，再由分组求和法和等比（等差）数列的前n项和公式，求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）由S_n=2ⁿ+c得，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，…（2分）
 当n=1时，S₁=2¹+c=2+c=a₁，
∵数列{a_n}为等比数列，
∴

a2

a1

=

2

2+c

=

a3

a2

=2　…（4分）
解得c=-1，则a₁=1   …（5分）
∴数列{a_n}的通项公式：an=2n-1　…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=2ⁿ-1，∴b_n=S_n+2n+1=2ⁿ+2n   …（8分）
则T_n=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）+2（1+2+3+…+n）　…（9分）
=

2(1-2n)

1-2

+2×

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2+n（n+1）
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2　…（12分）

点评：本题考查等比数列的定义、通项公式，等比（等差）数列的前n项和公式，以及分组求和法，属于中档题．