Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期上的一系列对应值如下表：

x	…	- π 4	0	π 6	π 4	π 2	3π 4	…
y	…	0	1	1 2	0	-1	0	…

（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在△ABC中，AC=2，BC=3，A为锐角，且f（A）=-

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由图表可得，f（0）=sinφ=1，求得得φ值，再根据函数的周期求得ω=2，可得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（A）=-

1

2

求得A=

π

3

．△ABC中，由正弦定理求得sinB，可得cosB的值，利用两角和的正弦公式求得sinC的值，可得△ABC的面积

1

2

•AC•BC•sinC的值．

解答： 解：（Ⅰ）由图表可得，f（0）=sinφ=1，再结合0＜φ＜π，可得φ=

π

2

．
再根据函数的周期为

π

2

-0=

1

2

•

2π

ω

，求得ω=2，∴f（x）=sin（2x+

π

2

）=cos2x，
即 f（x）=cos2x．
（Ⅱ）∵f(A)=-

1

2

，即cos2A=-

1

2

，又A为锐角，∴A=

π

3

．
△ABC中，由正弦定理可得

BC

sinA

=

AC

sinB

，∴sinB=

AC•sinA

BC

=

3

3

，又BC＞AC，∴B＜A=

π

3

，
∴cosB=

6

3

，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

3 2 + 3

6

，∴S△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=

3 2 + 3

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦定理的应用，属于基础题．