Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0；若P=f（

1

5

）+f（

1

11

），Q=f（

1

2

），R=f（0）；则P，Q，R的大小关系为

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令x=y，可求得f（0）=0，令x=0，可得f（-y）=-f（y），判断出f（x）为奇函数，当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
可得当x∈（0，1）时，有f（x）＜0．令x=

1

n

，y=

1

n+1

，则f（

1

n

）-f（

1

n+1

）=f（

1

n2+n-1

），求出f（

1

5

）+f（

1

11

），从而可将进行比较．

解答： 解：∵定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
∴令x=y，则f（x）-f（x）=f（0），即f（0）=0，
令x=0，则f（0）-f（y）=f（-y），即f（-y）=-f（y），
∴f（x）在（-1，1）是奇函数，
∵当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，
∴当x∈（0，1）时，有f（x）＜0．
令x=

1

n

，y=

1

n+1

，则f（

1

n

）-f（

1

n+1

）=f（

1 n - 1 n+1

1- 1 n • 1 n+1

）=f（

1

n2+n-1

），
∴f（

1

5

）+f（

1

11

）=f（

1

2

）-f（

1

3

）+f（

1

3

）-f（

1

4

）=f（

1

2

）-f（

1

4

），
∴P-Q=-f（

1

4

）＞0，P＞Q，
∵P，Q＜0，
∴R＞P＞Q．
故答案为：R＞P＞Q．

点评：本题考查函数的奇偶性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，正确赋值是迅速解题的关键，本题属于中档题．