Question

如果存在实数x使不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：依题意，a²-5a≥（|x+3|-|x-1|）_min，利用三角绝对值不等式不等式可得|x+3|-|x-1|≥-|（x+3）-（x-1）|=-4，从而解不等式a²-5a≥-4即可求得答案．

解答： 解：∵存在实数x使不等式|x+3|-|x-1|≤a²-5a成立，
∴a²-5a≥（|x+3|-|x-1|）_min，
∵|x+3|-|x-1|≥-|（x+3）-（x-1）|=-4，即（|x+3|-|x-1|）_min=-4，
∴a²-5a≥-4，
解得：a≥4或a≤1，
∴实数a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）．
故答案为：（-∞，1]∪[4，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，求得（|x+3|-|x-1|）_min=-4是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．