Question

已知函数f（x）=2^x-1，对于满足0＜x₁＜x₂＜2的任意x₁，x₂，给出下列结论：
①（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0；
②x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
③f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁；    
④

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）．
其中正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：根据指数函数的图象结合函数的性质分别进行判断即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₂-x₁＞0₁，f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＞0，故①不成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）＜3，
∴x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）不成立，即②不成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜f（x₁）＜f（x₂）＜3，
∴f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，即③成立；
∵f（x）=2^x-1，0＜x₁＜x₂＜2，
∴

f(x1)+f(x2)

2

=

x1+x2

2

-1，
f（

x1+x2

2

）=2

x1+x2

2

-1，
所以

f(x1)+f(x2)

2

＞f（

x1+x2

2

）成立；
故答案为：③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意指数函数运算公式的合理运用．