Question

已知两点A（-1，0），B（0，2），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，求△PAB面积的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：设P点到AB的距离是h，则S_△PAB=

1

2

•AB•h，其中AB是定值，要求S的最大最小值就是求h的最大最小值，而这个最大最小值的发生点自然是在和AB平行的两条切线和圆的切点，而这两个切点也必定通过圆心到AB的垂线上，由此能求出△PAB面积的最大值和最小值．

解答： 解：设P点到AB的距离是h，
则S_△PAB=

1

2

•AB•h，其中AB是定值，要求S的最大最小值就是求h的最大最小值，
而这个最大最小值的发生点自然是在和AB平行的两条切线和圆的切点，
而这两个切点也必定通过圆心到AB的垂线上，
设圆心是C，那么C的坐标是（1，0），设C到AB的垂线交AB于D，
AB的斜率k_AB=

2-0

0+1

=2，因此CD的斜率k_CD=-

1

2

，
|AB|=

1+4

=

5

，
AB的直线方程为：y=2（x+1），（i）
CD的直线方程为：y=-

1

2

（x-1），（ii）
联立（i）（ii）便可得到D的坐标：x_d=-

3

5

，y_d=

4

5

，
∴CD=

(1+ 3 5 )2+( 4 5 )2

=

4 5

5

，
∴h的最小值=CD-1=

4 5

5

-1，最大值=

4 5

5

+1，
∴△PAB面积的最小值=

1

2

×

5

×(

4 5

5

-1)=2-

5

2

，
△PAB面积的最大值=

1

2

×

5

×(

4 5

5

+1)=2+

5

2

．
∴△PAB面积的最大值和最小值分别是2+

5

2

，2-

5

2

．

点评：本题考查三角形面积的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．