Question

某市A、B、C、D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如表所示：

中学	A	B	C	D
人数	30	40	20	10

为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查．
（Ⅰ）问A，B，C，D，四所中学各抽取多少名学生？
（Ⅱ）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A，C两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A中学的学生人数，求ξ的分布列，数学期望和方差．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,分层抽样方法,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，抽取的样本容量与总体个数的比值为

50

100

=

1

2

．由此能求出应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名学生中，来自a₁两所中学的学生人数分别为a₂．依题意得，{b_n}的可能取值为c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，由此能求出ξ的分布列，数学期望和方差．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名，
抽取的样本容量与总体个数的比值为

50

100

=

1

2

．
∴应从A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为15，20，10，5．  …（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=log

1

2

an名学生中，
来自a₁两所中学的学生人数分别为a₂．
依题意得，{b_n}的可能取值为c_n+1-c_n=b_n，c₁=0，…（5分）
n≥2，n∈N*，

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

＜

3

4

，
P（ξ=0）=

C 2 10

C 2 25

=

3

20

，
P(ξ=1)=

C 1 15 C 1 10

C 2 25

=

1

2

，
P(ξ=2)=

C 2 15

C 2 25

=

7

20

．…（8分）
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2
P	3 20	1 2	7 20

∴Eξ=0×

3

20

+1×

1

2

+2×

7

20

=

6

5

． …（10分）
Dξ=（0-

6

5

）²•

3

20

+（1-

6

5

）²•

1

2

+（2-

6

5

）²•

7

20

=

23

50

．…（12分）

点评：本题考查四所中学各抽取多少名学生的求法，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差的求法，解题时要认真审题，是中档题，在历年高考中都是必考题型．