Question

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|．
（Ⅰ）证明：|f（x）|≤3；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）-log_ax（a＞0且a≠1）有两个零点，求a的值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x≤5 3，x＞5

，易求其值域为[-3，3]，从而可证|f（x）|≤3；
（Ⅱ）由函数零点的判定定理可知，y=log_ax，（a＞0且a≠1）与函数y=f（x）的图象有两个交点，且函数y=log_ax，（a＞0且a≠1）的图象经过点（5，3），从而可求得a的值．

解答： （I）证明：f（x）=|x-2|-|x-5|=

-3，x＜2 2x-7，2≤x≤5 3，x＞5

，其值域为[-3，3]，即|f（x）|≤3；
（II）解：依题意y=log_ax，（a＞0且a≠1）与函数y=f（x）的图象有两个交点，

则函数y=log_ax，（a＞0且a≠1）的图象经过点（5，3），
所以3=log_a5得a=

3	5

．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数零点的判定定理，考查作图与运算求解能力，属于中档题．