Question

设a≥0，解关于x的不等式

ax-1

x2-2

≥0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：①当a=0时，不等式即

-1

x2-2

≥0，可得 x²＜2，由此求得不等式的解集．②当a＞0时，不等式即

x- 1 a

x2-2

≥0，即（x-

1

a

）（x-

2

）（x+

2

）≥0，且x≠±

2

；再分0＜a＜

2

2

、a=

2

2

、和a＞

2

2

三种情况，分别用穿根法求得它的解集．

解答： 解：①当a=0时，不等式即

-1

x2-2

≥0，∴x²＜2，求得-

2

＜x＜

2

，故不等式的解集为（-

2

，

2

 ）．
②当a＞0时，不等式即

x- 1 a

x2-2

≥0，即（x-

1

a

）（x-

2

）（x+

2

）≥0，且x≠±

2

，
若0＜a＜

2

2

，则 

1

a

＞

2

，用穿根法求得不等式的解集为（-

2

，

2

）∪[

1

a

，+∞）．

若a=

2

2

，不等式即（x-

2

）（x-

2

）（x+

2

）≥0，且x≠±

2

，求得x＞-

2

，故不等式的解集为（-

2

，+∞）．
若a＞

2

2

，0＜

1

a

＜

2

2

，用穿根法求得不等式的解集为（-

2

，

1

a

]∪（

2

，+∞）．

点评：本题主要考查用穿根法求分式不等式、高次不等式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．