Question

已知过曲线C₁：x²=-4y上点（2，-1）的切线为l，圆C₂圆心为曲线C₁的焦点，圆C₂在直线l上截得的弦长为2

7

．
（1）求圆C₂的方程；
（2）设圆C₂与x轴、y轴正半轴分别交于点A，B，点C在曲线C₁上，求△ABC面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：常规题型,圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由焦点确定圆心，由弦长及圆心到直线的距离求半径；（2）作图可知，当平行于直线AB的直线与曲线C₁相切时，切点就是我们要找的C．

解答： 解：（1）C₁的焦点为（0，-1），则C₂（0，-1），
曲线C1：x2=-4y可化为y=-

x2

4

，
则y′=-

x

2

，
直线l斜率k=-1，则直线l方程为x+y-1=0，
圆心到直线l距离d=

2

2

=

2

，
∴r²=

2 2+ 7 2

=2+7=9，
则圆C₂的方程为x²+（y+1）²=9．
（2）由题意A(2

2

，0)，B(0，2)，
直线AB方程为

x

2 2

+

y

2

=1，
即x+

2

y-2

2

=0，
设与x+

2

y-2

2

=0平行的直线方程为x+

2

y+m=0，
由

x2=-4y x+ 2 y+m=0

消去y得，

2

x2-4x-4m=0，
由△=16+16

2

m=0得，
m=-

2

2

，
x+

2

y-2

2

=0与x+

2

y-

2

2

=0间距离d=

|-2 2 + 2 2 |

3

=

6

2

，
则△ABC面积的最小值为

1

2

|AB|•d=

1

2

×

8+4

×

6

2

=

3 2

2

．

点评：求圆的方程要根据条件选择用标准方程还是一般式方程，本题因有圆心，故用标准方程，而求最小值时，要学会转化，本题转化为求相切．