Question

已知一圆的方程为x²+y²-6x-8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：由圆方程得：（x-3）²+（y-4）²=5²，圆心O（3，4），半径r=5，AC长为过点（3，5）和点O的圆的直径d=2×5=10，BD应与AC垂直，即与x轴平行，方程为：y=5，由此求出BD=3+2

6

-（3-2

6

）=4

6

，从而能求出四边形ABCD的面积．

解答： 解：由圆方程得：（x-3）²+（y-4）²=5²，①
则圆心O（3，4），半径r=5，
AC长为过点（3，5）和点O的圆的直径d=2×5=10，
k=

4-5

3-3

不存在，∴AC为垂直x轴的直线，
∴BD应与AC垂直，即与x轴平行，方程为：y=5 ②
②代入①得：x²-6x-15=0，解是x=3±2

6

，
∴BD=3+2

6

-（3-2

6

）=4

6

，
则四边形ABCD面积=AC•BD=5×4

6

=20

6

，
∴四边形ABCD的面积：S_{四边形ABCD}=20

6

．

点评：本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．