Question

已知公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₄=16，a₂²=a₁a₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，由S₄=16，a₂²=a₁a₅．可得

4a1+ 4×3 2 d=16 (a1+d)2=a1(a1+4d)

，解得即可；
（2）由（1）可得：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d≠0，∵S₄=16，a₂²=a₁a₅．
∴

4a1+ 4×3 2 d=16 (a1+d)2=a1(a1+4d)

，解得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1．
（2）由（1）可得：b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式和“裂项求和”方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．