Question

在直线l：3x-y-1=0上求一点P，使得：
（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）如果两点在一直线的异侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点，即为所求的P点；
（2）如果两点在一直线的同侧，则作其中某一点关于该直线的对称点，那么经过对称点与另一点的直线与已知直线的交点，即为所求的P点．

解答： 解：（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大
显然A、B位于直线L两侧
作B关于直线L的对称点B'，连接B'A
则B'A 所在直线与直线L交点即为P
此时，|PA-PB|的差值最大，最大值就是B'A
设B点关于L对称点B’（a．b），
则（b-4）×3=-（a-0），3a-（b+4）-2=0，
得a=3，b=3
AB的直线方程为2X+Y-9=0解方程2X+Y-9=0
与3x-y-1=0可得（2、5）是距离之差最大的点．
（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小
显然，A、B位于直线L同侧
作点C关于直线L对称点C'，连接C'A
则C'A与直线L的交点就是点P
此时，PA+PB之和最小，最小值为C'A
设C关于l的对称点为C′，求出C′的坐标为（

3

5

，

24

5

）．
∴AC′所在直线的方程为19x+17y-93=0．
AC′和l交点的坐标为P(

11

7

，

26

7

)．
∴点P的坐标为P(

11

7

，

26

7

)

点评：本题考查直线关于直线对称的问题，平面几何知识，是中档题．