Question

设a、b是实常数，解关于实数x的不等式：
（1）（a+1）x＞b-2；
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0；
（3）（a+3）x²-2x+1≥0．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）对a分类讨论：当a+1＞0时，当a+1=0时，当a+1＜0时，解出即可；
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0化为（x-a²）（x-a）＜0，对a分类讨论：当a²=a时，即a=0或1；当a²＞a时，即a＞1或a＜0；当a²＜a时，即0＜a＜1，解出即可．
（3）对a与-3的大小关系、△与0的大小关系分类讨论即可得出．

解答： 解：（1）当a+1＞0时，不等式（a+1）x＞b-2的解集为{x|x＞

b-2

a+1

}；
当a+1=0时，不等式化为0＞b-2，当b-2＜0时，不等式的解集为R，当b-2≥0时，不等式的解集为∅；
当a+1＜0时，不等式（a+1）x＞b-2的解集为{x|x＜

b-2

a+1

}．
（2）x²-（a²+a）x+a³＜0化为（x-a²）（x-a）＜0，
当a²=a时，即a=0或1，不等式化为（x-a）²＜0，不等式的解集为∅；
当a²＞a时，即a＞1或a＜0，不等式的解集为{x|a＜x＜a²}；
当a²＜a时，即0＜a＜1，不等式的解集为{x|a²＜x＜a}．
（3）当a=-3时，不等式化为-2x+1≥0，不等式的解集为{x|x≤

1

2

}；
当a≠-3时，△=4-4（a+3）=-4a-8．
当a＞-3时，由△＞0，解得a＜-2，即-3＜a＜-2时，
不等式的解集为{x|

1- -a-1

a+3

＜x＜

1+ -a-1

a+3

}；
当a＞-3时，由△=0，解得a=-2，即a=-2时，不等式的解集为R；
当a＞-3时，由△＜0，解得a＞-2，即-2＜a时，不等式的解集为∅；
当a＜-3时，由△＞0，解得a＜-2，即a＜-3时，不等式的解集为{x|

1+ -a-1

a+3

＜x＜

1- -a-1

a+3

}；
当a＜-3时，由△≤0，解得a≥-2，此时舍去．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．