Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求该圆半径的取值范围．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）由已知得4（t+3）²+4（1-4t²）²-4（16t⁴+9）＞0，由此能求出t的取值范围．
（2）由已知得r=

1

2

4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)

=

1

2

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，由此能求出该圆半径的取值范围．

解答： 解：（1）∵方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一个圆，
∴4（t+3）²+4（1-4t²）²-4（16t⁴+9）＞0，
整理，得7t²-6t-1＜0，
解得-

1

7

＜t＜1，
∴t的取值范围是（-

1

7

，1）．
（2）∵r=

1

2

4(t+3)2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)

=

1

2

-7t2+6t+1

=

1

2

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，
∴0＜r≤

2 7

7

．
∴该圆半径的取值范围是（0，

2 7

7

]．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，考查圆的半径的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质的合理运用．