Question

解不等式：
（1）2ax²+4x+a+1≤0；
（2）（1-a）x²+4ax-（4a+1）＞0．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：（1）讨论a=0时，a＞0时，a＜0时，对应不等式的解集是什么；
（2）讨论1-a=0，1-a＞0，1-a＜0时，对应不等式的解集是什么．

解答： 解：（1）∵2ax²+4x+a+1≤0，
∴当a=0时，不等式化为4x+1≤0，解得x≤-

1

4

；
当a＞0时，不等式化为x²+

2

a

x+

a+1

2a

≤0，
∵△=(

2

a

)2-4×

a+1

2a

=

4-2a2-2a

a2

=

-2(a+2)(a-1)

a2

，
∴若0＜a＜1，则△＞0，解不等式得

-2- 4-2a2-2a

2a

≤x≤

-2+ 4-2a2-2a

2a

；
若a=1，则△=0，解不等式得x=-

1

a

；
若a＞1，则△＜0，不等式无解；
当a＜0时，不等式化为x²+

2

a

x+

a+1

2a

≥0，
∵△=(

2

a

)2-4×

a+1

2a

=

4-2a2-2a

a2

=

-2(a+2)(a-1)

a2

，
∴若-2＜a＜0，则△＞0，解不等式得x≤

-2- 4-2a2-2a

2a

，或x≥

-2+ 4-2a2-2a

2a

；
若a=-2，则△=0，解不等式得，x∈R；
若a＜-2，则△＜0，解不等式得，x∈R；
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x≤-

1

4

}；
0＜a＜1时，不等式的解集是{x|

-2- 4-2a2-2a

2a

≤x≤

-2+ 4-2a2-2a

2a

}；
a=1时，不等式的解集是{x|x=-

1

a

}；
a＞1时，不等式的解集∅；
-2＜a＜0时，不等式的解集是{x|x≤

-2- 4-2a2-2a

2a

，或x≥

-2+ 4-2a2-2a

2a

}；
a≤-2时，不等式的解集是R；
（2）当1-a=0，即a=1时，不等式化为4x-5＞0，解得x＞

5

4

；
当1-a＞0，即a＜1时，∵△=（4a）²-4（1-a）[-（4a+1）]=12a+4，
∴若-

1

3

＜a＜1，则△＞0，解不等式得x＜

-2a- 3a+1

1-a

，或x＞

-2a+ 3a+1

1-a

；
若a=-

1

3

，则△=0，解不等式得x≠

2a

a-1

；
若a＜-

1

3

，则△＜0，解不等式得x∈R；
当1-a＜0，即a＞1时，∵△=（4a）²-4（1-a）[-（4a+1）]=12a+4＞0，
解不等式得

-2a- 3a+1

1-a

＜x＜

-2a+ 3a+1

1-a

；
综上，a=1时，不等式的解集是{x|x＞

5

4

}；
-

1

3

＜a＜1时，不等式的解集是{x|x＜

-2a- 3a+1

1-a

，或x＞

-2a+ 3a+1

1-a

}；
a=-

1

3

时，不等式的解集是{x|x≠

2a

a-1

}；
a＜-

1

3

时，不等式的解集是R；
a＞1时，不等式的解集是{x|

-2a- 3a+1

1-a

＜x＜

-2a+ 3a+1

1-a

}．

点评：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，解题时应对字母系数进行讨论，是易错题目．