Question

已知数列{a_n}满足a_n＜0，

a

2 n

+（n-1）a_n-n=0，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n

}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）对式子

a

2 n

+（n-1）a_n-n=0因式分解，由a_n＜0求出通项公式；
（2）由（1）和条件求出

an

2n

，代入前n项和S_n，利用错位相减法求出数列前n项和S_n．

解答： 解：（1）由

a

2 n

+(n-1)an-n=0得：（a_n+n）（a_n-1）=0，
由a_n＜0，得a_n=-n…（5分）
（2）由（1）得，

an

2n

=

-n

2n

，
∵Sn=

a1

2

+

a2

22

+…+

an

2n

，
∴Sn=

-1

2

+

-2

22

+…+

-n

2n

=-(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)    ①
则

1

2

Sn=-(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)    ②
①-②得，

1

2

Sn=-(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

)=-[1-(

1

2

)n-

n

2n+1

]，
即

1

2

Sn=-(1-

n+2

2n+1

)=

n+2

2n+1

-1，
则Sn=

n+2

2n

-2．…（12分）

点评：本题考查数列的递推公式求数列通项公式，以及错位相减法求数列的和，这是常考的题型，考查了运算能力．